Ejercicios y Ejemplos

CASO I
CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN

Factor común monomio
Descomponer en factores  a²+2ª
a²  y 2a Contiene el factor común   como coeficiente de un paréntesis; dentro del paréntesis   escribimos los cocientes de dividir    a²÷a=a   y 2a÷a=2  y tendremos  a²+2 a= a (a+2)

Descomponer 10b-30ab²
Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10, tomamos 10 porque siempre se saca el mayor factor común de las letras, el único factor común es b porque está en los dos términos de la expresión dada y la tomamos con su mayor exponente b.
El factor común es 10b lo escribimos como coeficiente de los paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 10b÷10b=1  y -30ab²÷10b=3b y tendremos.
10b-30ab²=10b (1-3ab)

Ejemplos:
1) 14x² y²  - 28x³ + 56x⁴
    14x²  (y²  - 2x + 4x²)

2) un binomio

2a + 2 b = 2 (a + b)

Sacamos el factor común 2 y lo multiplicamos por los demás términos

Ejemplo 3

25x – 15y = 5(5x – 3y)

Descomponemos los términos para buscar un factor común ya que ni las letras ni los números son comunes, Debemos obtener el máximo común divisor así: (25, 15)

|25     15    5
5     3 |  

Entonces el factor común es 5

5(5x – 3y)

3) un trinomio
 común es 8mn + 16mx - 20mn

MCD (8,16,20)
común es 8 16 20 | 2
                 4 8 10  | 2

Luego se multiplica el resultado 2*2 = 4 y nos da el MCD 4

4m (2n+ 4x – 5n)

CASO II
FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Esta agrupación de términos se puede hacer generalmente de más de un modo con tal que los dos términos que se agrupan tengan algún factor común y siempre que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales, si esto no posible lograrlo la expresión dada no se puede descomponer por este método.

Ejemplos:

1) 4am³ – 12amn – m² + 3n

4am³ – m² – 12amn + 3n

(4am³ – m²) – ( 12amn - 3n )

m² (4am - 1) -3n (4am - 1)

(m² – 3n) (4am - 1)

2) 3x³ + 2axy + 2ay² – 3xy² – 2ax² – 3x²y

3x³ – 3x²y – 3xy² – 2ax² +2axy + 2ay²

(3x³ – 3x²y – 3xy²)– (2ax² - 2axy - 2ay²)

3x (x² – xy -  y²) – 2a (x² – xy -  y²)

(3x – 2a) (x² – xy -  y²)

Caso III
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Una cantidad es un cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, es decir; el producto de dos factores iguales.

Entonces, 9a²   es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de 3a.

Así que: (3a)²=3a*3a= 9a²  y 3a, que multiplicada por si misma da 9a² y también es la raíz cuadrada de 9a² .

Tenemos que;(-3a)²=(-3a)*(-3a)= 9a²; -3a es también la raíz cuadrada de 9a²

Se concluye que la raíz cuadrada de  una cantidad positiva tiene dos signos + y -.

Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, o sea, el producto de dos binomios iguales.

Así, b²+2bc+c² es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de b+c.

Así que:(b+c)²=(b+c)(b+c)= b²+2bc+c².

Del propio modo, (4x+3y)²=16x²+24xy+9y² luego 16x²+24xy+9y² es un trinomio cuadrado perfecto.

Regla para conocer si es un Trinomio Cuadrado Perfecto

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término tiene raíz cuadrada exacta y positiva, y el segundo es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Así, b²+4bc+4c² es cuadrado perfecto porque:

Raíz cuadrada de b²=b

Raíz cuadrada de 4c²=2c

Doble producto de estas raíces 2*b*2c=4bc.
16x²+9xy⁴+4y⁸  no es cuadrado perfecto porque:

Raíz cuadrada de 16x²=4x

Raíz cuadrada de 4y⁸=2y⁴

Doble producto de estas raíces 2*4x*2y⁴ =16xy⁴ que no es el 2° término.

Regla para factorar un Trinomio Cuadrado Perfecto

Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer término del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.

Ejemplo:

1)Factorar n²+2n+1
n²+2n+1=(n+1)(n+1)=(n+1)²

2) Descomponer 4x²+25y²-20xy

Ordenando el trinomio, tenemos:
4x²+25y²-20xy=(2x-5y)(2x-5y)=(2x-5y)²

3) Descomponer 1-16ax²+64a²x²
1-8ax²+16a²x⁴ =(1-4a²x)²=(4a²x-1)²

4) Factorar x⁴+bx+b^{2
                                          9}           

Este trinomio es cuadrado perfecto porque: Raíz cuadrada de x⁴=x; raíz cuadrada de b²= b y el doble                                                                                                                                          9     3
 producto de estas raíces:  2*x+b=bx,
                                                  3

Luego: x²+bx+b²=(x+b)^{2
                                 9             3}

Caso IV
DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Para realizar la diferencia de cuadrados se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas entre la diferencia de la raíz del minuendo y la del sustraendo

Ejemplo

Factorar; 9 – b² la raíz cuadrada de 9 es 3b y a la raíz cuadrada de b² es b

Multiplico la suma de estas raíces (3 + b) por la diferencia (3 - b) y tendremos

9 – b^{2     =}   (3 + b) (3 - b)

Ejemplo 2

25x²y⁴ – 121

(5 xy² + 11) (5 xy² - 11)

CASO V
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Se comprueba si el trinomio es cuadrado perfecto, extrayendo la raíz cuadrada al primer y tercer término; las raíces cuadradas de estos términos se multiplican por 2, y este producto se compara con el segundo término del trinomio dado.

Si el 2º término del trinomio no es igual al producto encontrado, no es cuadrado perfecto.  Por lo que se procede a convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto, de la siguiente manera:

Se le suma al 2º término la diferencia que falta para que sea igual a producto encontrado en la comprobación del trinomio; y además para que el trinomio dado no varíe hay que restarle esta misma diferencia a todo el trinomio.

Por último se encuentra el resultado como en una diferencia de cuadrados perfectos

Factorar   x⁴+x²y²+y⁴

Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. la raíz cuadrada de x⁴ es x²; la raíz cuadrada de y⁴ es y² y el doble producto de estas raíces es 2x²y² luego este trinomio no es cuadrado perfecto.

Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo término x²y² se convierte en 2x²y², lo cual se consigue sumándole x²y² pero para que le trinomio no varié hay que restarle la misma cantidad que se suma x²y² y tendremos

x⁴+x²y²+y⁴

x²y²-x²y²

x⁴+2x²y²+y⁴-x²y²= (x⁴+x²y²+y⁴)-x²y²

Factorando el trinomio cuadrado perfecto= (x²+y²)²-x²y²

Factorando la diferencia de cuadrados= (x²+y²+xy) (x²+y²+xy)

Ordenado= (x²+xy+y²) (x²+xy+y²)

Ejemplos:

1) Factorar a⁴+a²+1 = 
Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:
Raíz cuadrada de a⁴ = a²; raíz cuadrada de 1 = 1
El 2º término debe ser: 2(a²) (1) = 2a²
Comparando los 2ºs términos: 2a ² – a² = a² <–lo que falta.
>  Convirtiendo a cuadrado perfecto (sumando lo que falta al 2º término y restando la diferencia que falta al trinomio dado):
A⁴  +  a²  + 1
.      +  a²       -a²
—————————–
A⁴ +2 a ²  + 1 –a²  =  (a⁴ +2a ² +1) – a²
>  Factorando el trinomio cuadrado perfecto como en el Caso III:
(a⁴ +2a ² +1) – a² =  (a² +1)² – a²
>  Factorando como diferencia de cuadrados perfectos:
(a² +1)² – a² = (a² +1 +a) (a² +1 -a)  
Ordenado quedaría así (a² +a+1)(a²-a+1)  <–Solución

CASO VI
TRINOMIO DE LA FORMA x² + bx + c 

Este caso es algo muy particular ya que por medio de esta fórmula las autoridades de transito  han  podido representar la expresión de frenado de cierta marca de automóviles  regidos por una formula D= V² + V+ 6 donde D es la medida  en distancia en metros y V la velocidad en metros por segundo.

¿Cómo se podría representar de otra forma el trinomio que determina el frenado de un automóvil en esta ciudad?

Esta otra forma es la de factorizar el polinomio , teniendo presente que  la expresión D= V² + V+ 6

No corresponde a un trinomio cuadrado perfecto ni se puede completar, pues 6 no tiene raíz cuadrada exacta. El trinomio que representa la distancia recorrida es el de la forma x²+ bx + c

Ya que el coeficiente del termino literal con potencia par es 1.

Este caso de Factorización es lo contrario al caso de productos notables de binomios con término común. Se trata entonces de encontrar los dos binomios con el término común.

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado los términos independientes y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

Ejemplos:
1)   a²+ 2a - 15 = (a+5) (a-3)

2)   x²+ 5x + 6 = (x + 3) (x +2)

Ejercicio  1:

Encontrar las dimensiones de la base y la altura de un paralelogramo con área m¹² + 35m⁶ -156

Rta: Para hallar las dimensiones del  paralelogramo es necesario factorizar el polinomio. En este caso se debe cumplir que r.s = -156 y r+s =35

Para encontrar los factores que den 156, puede ser útil la descomposición en factores primos.

156   2
78     2      Los números que sirven son r=39  y s=-4
39     3
13     13
1

Luego, m¹² + 35m⁶ -156 = (m⁶ + 39)(m⁶ -4). Por lo tanto, las dimensiones son (m⁶ + 39)(m⁶ -4).
Ejercicio 2:
Factorizar el trinomio m² + 19mn -20n²
Rta: En este casos deben encontrar dos números  r y s cuyo producto sea   -20n² y cuya suma sea 19n.  Los valores útiles en este caso son r=20n y s= -1n
Luego, m² + 19mn-20n² =(m+20n) (m-n)
Ejercicio 3:
Expresar en factores el trinomio (x-a)² – 2(x-a) -15
En este caso se deben encontrar dos números r y s cuyo producto sea -15 y cuya suma sea -2
Los valores útiles son  r=-5 y S= 3
Por lo tanto, la factorización es: {(x-a) -5} {(x-a)+3} = (x-a-5)(x-a+3)

CASO VII
TRINOMIO DE LA FORMA ax² + bx + c

 - Trinomio de la forma  ax²ⁿ+ bxⁿ + c

En este tipo de factorización se puede poner de ejemplo una empresa que fabrica muebles y calcula los costos de producción diarios en miles de pesos determinados por la expresión  3x²+ 11x -20, donde x representa la cantidad de muebles que produce .¿Es posible factorizar  esta expresión con los casos de factorización vistos hasta el momento?

Rta: como este trinomio tiene como coeficiente diferente de 1 en el término que posee la variable al cuadrado, por lo que corresponde a un trinomio de la forma ax²ⁿ+ bxⁿ + c, por lo cual se debe usar otro método de factorización diferente.

Este trinomio de la forma ax²ⁿ+ bxⁿ + c se caracteriza porque el coeficiente del primer término  es diferente a 1, el segundo término contiene  la raíz cuadrada de la parte literal del primer término y el tercer término es independiente. Para factorizarlo se deben realizar los siguientes pasos:
Primero: Se toma como referencia el producto entre a y c
Segundo: Se descompone el producto a.c en dos factores r y s, de tal manera que la suma delos dos términos den el segundo término del polinomio así: rx²ⁿ+ sxⁿ =bx ⁿ

Tercero: Se escribe el trinomio ax²ⁿ+ bxⁿ + c como  ax²ⁿ+ rxⁿ + sxⁿ + c

Por último  se factoriza el polinomio resultante como factor común por agrupación  de términos.

Ejemplos 1:

Factorizando el trinomio 3x²+ 11x-20
Primero: se multiplica los coeficientes del  primer y tercer término.

3. (-20)= -60 y se encuentran dos números r y s de tal forma que su producto sea -60 y su suma 11

Los valores que cumplen estas condiciones son 15 y -4 por lo que  el trinomio se debe reescribir como 3x²+ 15x -4x-20.
Después se factoriza el polinomio resultante por factor común por agrupación de términos

(3x²+ 15x) – (4x+20) se agrupan los términos
3x(x+ 5) – 4 (x+5 ) se factoriza cada paréntesis por factor común
(3x-4x)  (x+5) se factoriza por factor común polinomio.
Por l o tanto la expresión 3x² +11x – 20 se puede factorizar como  (3x-4x)  (x+5).

Ejemplo 2:

Factorizar el trinomio 9x²+ 9mx+ 2m²

En este trinomio a=9, b=9m, c= 2m² luego, se necesitan dos números cuya multiplicación sea 18m² y cuya suma sea 9m.
Los números son 6m y 3m; entonces , 9x²+ 9mx+ 2m² se debe escribir como 9x²+ 6mx+ 3mx+2m²
Finalmente, se factoriza el polinomio obtenido como factor común por agrupación de términos

(9x²+ 6mx)+ (3mx + 2m²) se agrupan los termino s.
3x (3x + 2m)+ m (3x + 2m) se factoriza cada paréntesis por factor común
(3x + m) (3x + 2m) se factoriza como factor común polinomio.
Por lo tanto 9x²+ 9mx+ 2m² = (3x + m) (3x + 2m)

Ejercicio 1: Utilizando GeoGebra para graficar 2x³ – 4x²-6x. Luego comprueba que los puntos de corte con el eje x en la gráfica corresponden a los valores que hacen cero cada uno de los factores primos del polinomio.
Responder: ¿Cuál es la factorización del polinomio?
2x³ – 4x²-6x                      X=0
= 2X(x²– 2x²-3)                 X=3
=2X(X-3)(X+1)                  X=-1

 Ejercicio 2: 
4x³ +20x²+16x=0       
4x(x² +5x+4)=0
4x(x +4)(x+1)=0
X=0
X=-4
X=-1

CASO VIII
CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

la raíz cubica de un monomio se obtiene se obtiene extrayendo la raiz cubica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3-

ejemplo 1

27 – 27x + 9x² – x³                        

3                            x

3 (3)²(x)   = 27x

3 (3)(x)²   = 9x²

(3 - x)³

Si cumple las condiciones por qué;

se dice que la raíz cubica de 27 es 3 y la raíz cubica de x³ es x se debe de multiplicar por 3 las raíces de cada termino así;

3 (3)²(x)  

3 (3)(x)²   

Y al realizar la operación nos da como resultado los términos del medio del binomio y es la manera de comprobar que está bien resulto el ejercicio, asi

3 (3)²(x)   = 27x

3 (3)(x)²   = 9x²

Entonces la respuesta es;

Las raíces de cada termino de sus extremos

(3 - x)³

ejemplo 2

27m³ + 108m²n + 144mn² 64n³

3m                                          4n

    3   x  (3m)²(4n)   = 108m²n

     3 x     (3m)(4n)²    = 144mn²

Rta; (3m + 4n)³

CASO IX

Suma o diferencia de cubos perfectos

En toda división exacta el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente, tendremos:

a³+b³=(a+b) (a²-ab+b²) forma 1

a³-b³=(a-b) (a²+ab+b²) forma 2

La forma 1 nos dice que

Regla 1

La suma de dos cuadrados perfectos se descompone en dos factores

Primer factor: la suma de sus raíces cubicas

Segundo factor: el cuadrado de la primera raíz menos el  producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

La forma 2 nos dice que

Regla 2

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores.

Primer factor: la diferencia de sus raíces cubicas

Segundo factor: el cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Factorizar x³+1

La raíz cubica de x³  es x; la raíz cubica de 1 es 1

Según la regla 1

X³+1=(x+1)[x²-x(1)+1²]=(x+1) (x²-x+1)

Ejemplo 1

8a ³ +27b⁶

Raíz cúbica de 8a ³  =  2a  

Raíz cúbica de 27b⁶  =  3b²

Suma de las raíces cúbicas: (2a +3b²)
Cuadrado de la 1° raíz cúbica: (2a)²  =  4a ²
Producto de las raíces cúbicas: (2a) (3b²) = 6ab²
Cuadrado de la 2° raíz cúbica: (3b²)²  =  9b⁴
R.   8 a ³ +27b⁶  =  (2a +3b²) (4 a ² -6ab² +9b⁴)  

Caso X
SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

Para desarrollar la suma o diferencia de dos potencias iguales, aplicando el teorema del residuo con los siguientes formulas.
I.          aⁿ – bⁿ: es divisible por a - b siendo n par o impar
II.       aⁿ + bⁿ : es divisible por a + b siendo n impar
III.    aⁿ – bⁿ : es divisible por a + b cuando n es par
IV.     aⁿ + bⁿ : nunca es divisible por a – b

Ejemplos:

1)        m⁷ – n⁷

(m – n) = (m⁶ + m⁵ n + m⁴ n² + m³ n³ + m² n⁴ + mn⁵ + n⁶⁾

2)       x⁷ + 128

= (x⁶ – x⁵ (2) + x⁴ (2)² – x³ (2)³ + x²(2)⁴ – x (2)⁵ + x(2)⁶)

(x⁶ – 2x⁵ + 4x⁴ – 8x³ + 16x² – 32x + 64) (x + 2)

Importante:
Para factorizar debemos tener en cuenta:
Siempre son dos términos
Los términos son elevados a una potencia impar 5 o 7
Se clasifica la expresión negativa o positiva
Se saca la raíz de cada termino y los ubicamos en dos paréntesis los cuales se deben de multiplicar entre sí.
 En los paréntesis uno para sacar la raíz de ambos términos y en el otro paréntesis el primer término debe ir decreciendo y el segundo vaya creciendo.
El signo del primer factor debe de ser el mismo que tiene la expresión dada.
Debemos clasificar la expresión negativa o positiva, en par o impar
Si el binomio es negativo todos los términos del polinomio serán positivos, pero si el binomio es positivo impar los signos del polinomio cambian