Tema

 TEORÍA DE  LOS CUADRADOS PERFECTOS

Matemáticamente un cuadrado perfecto es un numero entero que es cuadrado de otro, es un número que tiene una raíz cuadrada, es un numero natural.

¿Cómo surgió?

Desde sus inicios hasta finales del s. XIX, el álgebra era el estudio de ecuaciones y de cómo resolverlas. Cada una de las civilizaciones importantes ha dejado muestras de su incursión por el mundo del Álgebra. Nuestro conocimiento  sobre las matemáticas de la antigüedad se basa en los pocos escritos que se han recuperado de la época. Por ejemplo del antiguo Egipto, tenemos papiro de Berlín, en donde se encuentran relatados varios problemas y la forma de resolverlos. Como por ejemplo la suma de las áreas de dos cuadrados es 100. Medida del lado de uno de ellos es cuatro tercios el lado del otro. ¿Cuánto mide el lado de cada cuadrado?.  En tabletas de barro los babilonios recopilaron varios problemas como el siguiente: si el lado de un cuadrado  se resta del área del cuadrado obtenemos 870. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado? Al igual que los egipcios, como no tenían el lenguaje algebraico que hoy usamos, explicaban como resolver  los problemas por medio de ejemplos numéricos. Tal vez los babilonios alcanzaron un mayor conocimiento, pues para hallar la solución a las ecuaciones cuadráticas desarrollaron  tablas de raíces cuadradas y cubicas. Ellos lograron resolver ecuaciones como:    X2 + 5X =7       X2 =8X +3 X2 + 12 =X

Los griegos, aun cuando conocían los métodos de los babilónicos, se acercaron a la resolución de ecuaciones cuadráticas usando la geometría. Los hindúes (siglo IV d.C)resolvían ecuaciones como

4X2 + 3X =10 utilizando una formula muy parecida a la que hoy usamos.

Al  pasar el tiempo, se desarrolló  una teoría que vamos a estudiar en esta unidad.

¿En que se aplica?

Galileo galilei (1.564-1642) astrónomo matemático y físico italiano dedico mucho tiempo a la investigación del movimiento de objetos en caída libre, cuenta que desde la torre de Pisa, dejo caer simultáneamente dos objetos , debida a la gravedad, era constante. Teniendo eso en cuenta, los físicos llegaron a una ecuación que decribe dicho movimiento respecto  al tiempo que transcurre: h=VO .t – 4,9t2. Aquí  t es el tiempo que lleva el objeto en el aire, h es la altura del objeto sobre piso y Vo  es la velocidad con la cual se lanza el objeto. El 4.9 es precisamente la velocidad la mitad de la magnitud de la aceleración debida a la gravedad. Esta es una ecuación cuadrática, ya que la incógnita aparece al cuadrado.

Nos sirva para expresar matemáticamente problemas como el siguiente:

Un arquero lanza una flecha desde el piso hacia arriba con velocidad inicial 34,3 m/s. en su trayectoria hacia arriba, la flecha sobrepasa ¿En qué momento, al caer la flecha pasa por el borde del techo del edificio? En este caso, la ecuación cuadrática que debemos resolver es 49 = 34,3t - 4.9t2. Para hallar la solución debemos saber cómo factorizar.

Factor Común: cuando se multiplican dos o más números para formar un producto. Cada número se llama factor del producto.

Para determinar todos los factores entero de un número, se usa la descomposición en factores primos del número y con estos se construye un diagrama de árbol, como se muestra en la figura, el producto de los números en cada rama es un factor del número original.