Grandes Matemáticos

Haciendo un recorrido en la línea del tiempo tenemos que:

REPRESENTANTES	APORTES	ELEMENTOS DE ARITMÉTICA Y GEOMETRÍA	SIMBOLOGÍA PARA LA INCÓGNITA O VARIABLE
(~2000 – 250 a.C) BABILONIOS (~2000 a.C)	Plantean y resuelven problemas de manera verbal.  Manipulan la incógnita sin usar símbolos especiales. Tipo de Ecuaciones: cuadráticas; método de resolución: Completar el cuadrado Pioneros en el sistema de medición del tiempo al introducir el sistema sexagesimal y lo hacen dividiendo el día en 24 horas, cada hora en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Problemas que se reducen  a la solución de ecuaciones cuadráticas. Aceptan aproximaciones de números irracionales como soluciones de sus ecuaciones	Sistema posicional de base 60  y otros sistemas mixtos  Símbolos cuneiformes La suma y resta consiste en quitar o añadir símbolos. Usan los fraccionarios  con único  denominador sesenta. Símbolos especiales para algunas fracciones como : Hay evidencia de otros sistemas mixtos, usando unidades de diversos ordenes: tales como: 60, 24, 12, 10,6  y 2, éstas se usaron para fechas, áreas, medidas de peso etc,  Escribían cosas para representar años como por ejemplo: “me”  para el 100, luego “2 me 25” significaría año 225.   “limu”  para representar 1000, luego “2 me 1, 100” representa 2*100+1*60+10=270 Construyen  tablas para ayudar a calcular: tablas de multiplicar, tablas de cuadrados y cubos o de raíces cuadradas de números.	La incógnita presente en diversos problemas planteados y aunque no utilizan letras para representarlas, si usan terminología geométrica, palabras como: Se utilizan en un sentido abstracto y así lo revela el hecho de que sumaran la “longitud” a un “área” o el “área” a un “volumen” situación que hoy no tendría ninguna sentido con problemas de medida,  pero si teórica y llevan a la solución de ecuaciones cuadráticas y cúbicas, sin embargo la mayor parte de las ecuaciones que se reducen de los problemas son lineales. Se evidencia el uso de la letra para representar números.
EGIPCIOS (1700 A.C)	Plantean y resuelven problemas, de manera verbal. Dominio en el manejo de fracciones empleaban la unidad como numerador. Plantean y resuelven  ecuaciones del tipo ax2=b, usando el método de la falsa y doble falsa posición. Logran calcular la longitud del año solar, a través de sus observaciones astronómicas.	Sistema de numeración decimal  no posicional, sino aditivo adicionando o cancelando símbolos, con signos distintos para 10, 100, 1000, etc. Escritura en jeroglífico      inicialmente, y posteriormente usaron el sistema hierático. Para  simbolizar la suma y la resta, utilizan el dibujo de un par de piernas andando en dirección de la escritura o invertidas. Trabajan las cuatro operaciones aritméticas con fracciones utilizando la descomposición en fracciones unitarias.	X : “aha” o “montón” “un montón más un séptimo del mismo montón” En este momento no existe símbolo para la incógnita.  Posibilitan más de un valor para la incógnita a través de los métodos de resolución de ecuaciones: Método de falsa posición, Método doble falsa posición7 que consiste básicamente en ensayo y error por tanteo, tomando un valor concreto para la incógnita y verificando si se cumple la igualdad, si no, mediante cálculos se obtenía la solución. Es decir la letra es evaluada.
Griegos  (600-300 a.C) Período clásico. EUCLIDES:	Expresa la   matemática  en lenguaje verbal y lenguaje geométrico. Relación estrecha entre geometría y aritmética, lo que llamaría Zeuthen álgebra geométrica que se encuentra consignada en los libros I y IV de los elementos de Euclides. Establecen relaciones entre números y sus propiedades. Resuelven ecuaciones lineales y cuadráticas por métodos geométricos	Sistema no posicional de base 10.  Inicialmente usan el Sistema Jónico Alejandrino que usa las letras del alfabeto Las letras representan  cantidades constantes 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 , múltiplos de 10 hasta 90 y múltiplos de 100 hasta 900, La combinación de estas letras representarían números intermedios. (Morris pág. 98) Los números son sustituidos por segmentos de recta y las operaciones se realizan por medio de construcciones geométricas (Morris Klein) El producto de los números se convierte en el área de un rectángulo, el producto de tres se convierte en volumen. Usaron las fracciones solamente como razón entre números enteros y no como partes de un todo y las razones se utilizaban sólo para proporciones.(M.Klein pág. 185) Desarrollan	Desarrollan un álgebra de tipo geométrico  ya que  uso de las letras como variables procede de la geometría griega. Se establecen relaciones entre magnitudes geométricas .A los entes geométricos les asocian medidas La variable está presente en las longitudes de segmentos  de recta , un área o un volumen Ejemplo: Postulado 1. Por dos puntos diferentes pasa una sola línea recta. Además la longitud AB  representa  “a”  unidades, lo que quería decir que para cierta unidad de medida esa unidad de medida está contenida “a” veces en el segmento. Representan cantidades geométricas medidas. Todo número representaba la longitud de un segmento de recta, un área o un volumen, luego el uso del cero como número se hizo más difícil.
Chinos (1200-250 a.C)	Solución de ecuaciones de primer y segundo grado. Método de solución con simple  falsa posición. Admiten los números negativos, aunque no los aceptan como soluciones de ecuaciones. Números racionales positivos. Reconocen algunos irracionales. Concepto de proporcionalidad directa.	Sistema de numeración decimal posicional. En principio utilizaron dos sistemas de notación distintas, uno e basaba en el principio multiplicativo y el otro usaba una forma de notación posicional.9 El sistema de “numerales de varillas”     utiliza 18 símbolos alternadamente en las posiciones de derecha a izquierda. El lugar que ocupa el cero se deja en blanco. Boyer, pág. 261. Operan con fracciones ordinarias, establecen analogías con los distintos sexos; llaman al numerador “hijo” y al denominador “madre”. No son ajenos a los números negativos, ya que representa los números o coeficientes positivos con una varilla de color rojo y los negativos con una de color negro.	Asignan un valor para incógnita y efectúan los cálculos para obtener el valor exacto. En el libro Ssu- yuan yu- Chien  o ” Espejo Precioso de los cuatro Elementos” (四元玉鉴 ) hace referencia al cielo, la tierra ,el hombre y la materia, que representarían las cuatro incógnitas de una ecuación. Se evidencia el uso de la letra como incógnita.
GRIEGOS (330 a.C-600 d.C) Período Alejandrino o helenístico. Diofanto (250 d.C):	Se reconoce en él la figura griega más prominente de la época Alejandrina con respecto al álgebra. Introduce por primera vez abreviaturas, usa letras griegas para las incógnitas y sus potencias.  Trabaja ecuaciones de tipos lineales, cuadráticas y cubicas. Ecuaciones determinadas e indeterminadas.10 Números racionales e irracionales cuadráticos positivos. El tipo de álgebra de Diofanto se suele llamar álgebra "numerosa" o "numeral“, ya que los coeficientes de las ecuaciones siempre son conocidos.11 Creador del análisis Diofántico.	Sistema no posicional de base 10.  La Aritmética de Diofanto es una colección de 189 problemas, introduce algunas expresiones y símbolos para representar las incógnitas, las operaciones y las potencias de las incógnitas. Introduce símbolos especiales para  algunas operaciones aritméticas como:Adición: Yuxtaposición de términos, así; Igualdad:  La El cero : 0 ▪¯ 0,   0 La unidad: M0 además indica que  seguido va un número puro que no contiene a la incógnita. Fracciones:  L” para ½ No utiliza signos para representar la multiplicación y división.  Obtiene un sistema cerrado para las cuatro operaciones del álgebra, para lo cual establece las leyes de los signos. Por ejemplo: deficiencia por deficiencia permite disponibilidad.  Esto es, (-) x (-) = +. Establece las reglas de que hay que cambiar de signo cuando se cambia de lado de la igualdad y la de que hay que reunir términos semejantes.	Se cree que el símbolo que usaba para la indeterminada era  “ ”  la llama El número del problema, la interpreta como una variable numérica, puede haber sido la misma letra griega  escrita al final de la palabra arithmos.  ésta no representa ningún número del sistema griego. Nuestra x la escribe        por ser la primera letra de la palabra dymanis  “potencia” ( ). Uso nombres y símbolos  para las potencias, lo que hoy simbolizamos de la siguiente forma sería: Nombres especiales para los inversos de las seis potencias de la incógnita, lo que equivale a nuestras potencias negativas. Los coeficientes numéricos los escribe después de los símbolos para las respectivas potencias de la incógnita. No utiliza signos para representar la multiplicación y división.  Obtiene un sistema cerrado para las cuatro operaciones del álgebra, para lo cual establece las leyes de los signos. Por ejemplo: deficiencia por deficiencia permite disponibilidad.  Esto es, (-) x (-) = +. Establece las reglas de que hay que cambiar de signo cuando se cambia de lado de la igualdad y la de que hay que reunir términos semejantes. Resuelve problemas con varias incógnitas, las cuales las reduce expresando todas las cantidades desconocidas en términos de una sola de ellas. Es decir una reducción de variables
HINDUES  (200-1200) BRAHMAGUPTA	Fue el más grande de los matemáticos hindúes. Mejoran la notación simbólica creada por Diofanto.  Introduce el cero como número  Números racionales e irracionales cuadráticos. Números negativos. Tipos de ecuaciones: lineales, cuadráticas, determinadas e indeterminadas, algunas ecuaciones cubicas y cuarticas  Resuelven ecuaciones usando la regla de la falsa posición y  el método de completar cuadrado.  Admiten los coeficientes negativos y  en algunos casos  las raíces negativas.	Sistema de numeración posicional y decimal desde el siglo VIII a.C. Notación Brāhmi. Usan símbolos especiales para los números del 1 al 9. PAG 248 (MORRIS KLEIN) Aritmética de los números negativos y el  cero. Simbología en aritmética abreviaturas:  La suma: Indicada por yuxtaposición         La resta: un punto  sobre el sustraendo.  La igualdad: escriben los dos miembros en dos líneas consecutivas.                           La división: El divisor debajo del dividendo          El producto : bha»   de  bhavita                 La raíz cuadrada : « ka» (de la palabra  karana, “irracional”.)                         Numero enteros : prefijados por  «rū» (de  rūpa, ‘el número absoluto’).                       La palabra hindú para referirse al cero era śūnya, que significa “vacío”	Simbologia para la incognita X   “ya” yavattavat   (tantocuanto)                                  X2       “va”                               X3    “gha”                             X4    “vava”                           X9    “ghagha”                     X1/2   “ka”   Uso de Varias incógnitas Si el problema a solucionar implicada más de una  incógnita, una de ellas se  indicada por las sílabas iniciales de palabras de diferentes colores, así una segunda incógnita podía ser denotada por «kā» (de  kalaka, (“negro”). Ejemplo:    8xy + √10-7    es equivalente a:                  yā kā  8 bha ka  10  rū 7
ÁRABES (800-1300) AL-KHOWARIZMI (780-840)     Trattato d Algibra (Anónimo del Siglo XIV).	Contribuyen con el nombre de álgebra, proveniente de la palabra “aljabr” que al parecer significa “restauración” o completación”  y “muqabalah” probablemente “reducción o compensación”  o también según Klein significa “restauración   “ “componedor de huesos” Regresión con respecto a Diofanto. Es un álgebra completamente retórica con una semejanza al estilo de los babilónicos y egipcios.  Solución de ecuaciones indeterminadas de segundo y tercer grado.las cuadráticas las justifican con procesos geométricos. Introducen nombres especiales para la incógnita y sus potencias	Usan y mejoran los símbolos de los indios y su notación posicional. Sistema posicional de  base 10. Números racionales e irracionales cuadráticos. No hacen  uso de los números negativos (no aceptados como coeficientes  y raíces de ecuaciones). Los números están escritos  con palabras, sin ninguna abreviatura Se aproxima un poco al trabajo  de Diofanto, respecto al tratamiento de varias incógnitas ya que las reduce a una indeterminada y luego las resuelve.             ( Morris  Klein, I  pág.  260)  Relacionan geometría y álgebra para poder complementar sus argumentos Soluciona ecuaciones cúbicas con el uso de intersecciones de cónicas	Influenciados por los griegos,  la variable tiene dimensionalidad, está presente en las longitudes de segmentos  de recta, un área o un volumen. AL-KHOWARIZMI en su libro, llama al lado de un cuadrado “la cosa”, y en la solución a los problemas, hace referencia al producto de la “cosa”, La mitad de las “cosa”.( Véase . Carl Boyer, pág. 303)  Es evidente  que la limitante en la obra de Alkhowarizmi es la ausencia de la notación simbólica. Llama potencia al cuadrado de la incógnita Introducen nombres especiales para la incógnita y sus potencias. Trattato d Algibra (Anónimo SigloXIV) X    cosa(o chosa)                  X2    censo                              X3    chubo                                 X4   censo di censo                               X5   chubo di censi                   X6  censo di chubo
EUROPA  Leonardo Pisano (1170-1250) (Fibonacci) NICOLAS CHUQUET (1455 a 1488) PACIOLI (1445-1514) SIGLO XVI CARDANO (1501-1576) BOMBELLI(1526-1572)	.Introduce el sistema de numeración indoarábigo usado actualmente. introduce el cero en Europa. En su obra Triparti, Trata : los números, las raíces y la “regla de los primeros” Da un paso decidido en algebra al considerar los números negativos y en usar exponentes e incluir el cero como exponente. . Números negativos racionales e irracionales cuadráticos. Ecuaciones cubicas y cuarticas en su libro Summa, además de conectar la matemática con aplicaciones prácticas. Resolución de la ecuación cúbica (y cuártica también) escrita en el Ars Magna   Números irracionales. Números negativos no aceptados como coeficientes  y raíces de ecuaciones, llamándolos “ficticios Transforma el lenguaje algebraico. Introduce símbolos especiales para representar la incógnita y sus potencias y relaciones de uso frecuente. Introduce segmentos negativos y áreas negativas o  nulas Argumenta combinando con instrumentos Euclides y algebraicos. Analiza la naturaleza y multiplicidad de las raíces. Resuelve ecuaciones de los primeros cuatro grados y su resolución a través de fórmulas.	Sistema de notación posicional (de base 10, o decimal)  y un dígito de valor nulo: el cero Números racionales e irracionales cuadráticos. Números  negativos no aceptados como coeficientes  y raíces de ecuaciones. Resuelve ecuaciones de segundo grado al estilo de Diofanto y los árabes, encontró la solución con razonamientos geométricos de Euclides. Habla de los números negativos como “absurdos”. Simbología en Aritmética:   p      de pui (mas)     m     de meno (menos)                          ae    de equalis ( igual)    R2    raíz cuadrada                              R3    raíz cubica m   ubicada delante de un numero significa que este era negativo  1483 aun no existen signos para la multiplicación y la división.  La multiplicación dispone formas para el cálculo como la llamada  “de celosía” o “de enredado” Para la división usan una serie de restas repetitivas llamada división “a danda” otra “ a galea” En su obra Ars Magna Se refiere a la incógnita como “rem ignotam”, los términos y notaciones varian enormemente, muchos símbolos se derivaban de abreviaturas. R para “raíz cuadrada”. p para “mas” M para “menos” Números  racionales e irracionales cuadráticos. Números negativos Irracionales cúbicos Considera los números complejos en la solución de ecuaciones de tercer grado aunque los llamaba inútiles o “sofísticos” Usa la construcción geométrica Usa la construcción geométrica; partiendo de la  resolución algebraica deduce la construcción geométrica.	Usa la simbología Diofanto Nicolas Chuqet, llama a la incógnita el “número primero” o “primario”. Usa la abreviatura “radix”( raíz) Rx1            Raíz  o incógnita           Rx2   Raíz cuadrada         Rx3             Raíz Cubica. Usa por primera vez notación exponencial e incluye el cero como exponente. El simbolismo sincopado Pacioli es mas de abreviaturas. Se referían a la incógnita como radix  o res (raíz o cosa en latín)”  o “cosa” que toma significado según el problema                                      X                co de cosa                   x2               ce o Z de censo             x3                      cu o C de chubo                                                                                x4  ce ce de censo di cenco Usa el principio multiplicativo para la sexta y novena potencia. Se refiere a la incógnita como “rem ignotam”, los términos y notaciones varían muchos símbolos se derivaban de abreviaturas. Ejemplo:          X2 = 4x +32 como  “qdratu aeqtur 4 rebus:32. Al termino constante 32, lo llama el “número”.  Símbolo para la incognita. R  abreviatura de res. X2  es decir la segunda potencia  la simboliza  Z y lo llamaba  “quadratum”  o “censo”   X3  lo escribe  C y lo llama   “cubus”. Transforma la notación algebraica al introducir símbolos para la incógnita y sus potencias, utilizaba la palabra “tanto” en vez de “cosa”,  Usa una circunferencia sobre la base del número que significaría el exponente de la potencia y emplea un razonamiento usando elementos algebraicos y euclideos Simbología para la incógnita y sus potencias era: X   1      tanto.                             X2  2     potenza                           X3  3     cubo                               X4   4     potenza di potenza.        X5    primo relato   etc.(Morris pag 348) Asi                 era:
FRANÇOIS VIÈTE (15401603), Francés.	Viete se da cuenta que la incógnita no necesita ser un número o un segmento geométrico. Inicia la generalización a la expresión algebraica. Escribe las magnitudes conocidas “parámetros” como consonantes (B, D, etc.) y las magnitudes desconocidas “incógnitas” como vocales. Propuso un nuevo enfoque de la resolución de la cúbica. Facilitó el estudio de ecuaciones de grado 2, 3 y 4.  Distingue algunas relaciones entre las raíces y coeficientes de una ecuación algebraica. Concibe la matemática como una forma de razonamiento.	Números  racionales e irracionales cuadráticos. Números complejos.  Viete descarta enteramente los Números negativos. Irracionales cúbicos. Números imaginarios Simbología  en aritmética: “in”     multiplicación  “l”       división.  “aequalis”      igualdad. Introduce una nueva incógnita para la solución de ecuaciones cúbicas. Establece un diferencia entre álgebra y aritmética. Llama “logística speciosa” al álgebra como método de operar con formas o cosas	Se concibe la distinción entre parámetro e incógnita. Símbolos diferentes para parámetros e incógnitas.  No es del todo simbólico, se usan aun abreviaturas. Ej :                                             A2     “A 19uadrates”                                       A3     “A  cubus”                                                   “B in A quadratum, plus D plano in A, aequari       la escribía así: Aq + Bc in Cq + Dpl in E ae. Fq inH La expresión   –   la utilizaba en el sentido “, y la notación quería decir LIMITANTE